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来自陈江富的问题

  【设椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x²=4根号3y的交点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点且离心率e=1/2,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点1)求椭圆C的方程2)】

  设椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x²=4根号3y的交点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点且离心率e=1/2,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点

  1)求椭圆C的方程

  2)是否存在直线l,使得OM的向量乘以ON的向量=-2.若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.

  3)若AB是椭圆C经过原点0的弦.MN‖AB,求证:(/AB/²)/(/MN/)的定值

1回答
2020-04-16 14:57
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郭佳

  1,关键是求ab,椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,抛物线的焦点是(0,根号3),所以此点是椭圆的上端点,有b^2=3,又因为e=1/2,a^2=b^2+c^2,可解出a=2,c=1,椭圆c的方程为x^2/4+y^2/3=1

  2假设有这样的直线,方程设为y=kx+bmn是直线与椭圆的交点,把直线方程带入椭圆方程得

  (3+4k^2)x^2+8kbx+4b^2-12=0x1x2=(4b^2-12)/(3+4k^2)y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+bk(x1+x2)+b^2=(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)

  因为两个向量积为-2,即x1x2+y1y2=-2把上面两式带入有7b^2-4k^2-6=0

  又因为直线过椭圆右焦点(1,0),所以k+b=0

  解得k=根号2b=负根号2或者k=负根号2b=根号2

  从而可写出直线方程

  3过AB的直线方程可以写出,与椭圆的交点可以求出,那么长度也可以算出,MN也同样可以算

  最后得比值就出来了

2020-04-16 15:00:34

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