1(1),所求以F1,F2为焦点且经过点D的椭圆C的方程为：

　　x^2/2+y^2=1.

　　(2),以短轴为直径的圆O的方程为：x^2+y^2=1.

　　设M点坐标（x0,y0）,则直线OM的斜率为：y0/x0,

　　由题意可知：OM垂直AB,

　　所以直线AB的斜率为：-x0/y0.

　　直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q,要使PQ的长最小,

　　则直线AB的斜率为：-1或1,即x0=y0或x0=-y0.

　　代入椭圆C的方程：x^2/2+y^2=1,得：

　　x0=y0=√6/3,或x0=y0=-√6/3,

　　或x0=√6/3,y0=-√6/3,或x0=-√6/3,y0=√6/3.

　　当x0=y0=√6/3时,直线AB的方程为：x+y=√6/2.

　　P、Q的坐标为（√6/2,0）,（0,√6/2）.

　　此时,|PQ|=√3.

　　同理可知：x0=y0=-√6/3,或x0=√6/3,y0=-√6/3,

　　或x0=-√6/3,y0=√6/3时,|PQ|=√3.

　　所以PQ的最小值为：√3.

　　过M（x0,y0）点的圆O的切线方程为：

　　(x-x0)^2+(y-y0)^2=x0^2+y0^2-1①

　　圆O的方程为：x^2+y^2=1②

　　①-②,化简得：x0x+y0y=1,

　　即为直线AB的方程.

　　所以P、Q的坐标为（1/x0,0）,（0,1/y0）,

　　|PQ|^2=(1/x0)^2+1/y0)^2>=2|1/x0y0|,

　　当且仅当|x0|=|y0|时,取等号.

　　将|x0|=|y0|代入椭圆C的方程：x^2/2+y^2=1,得：

　　|x0|=|y0|=√6/3,此时|PQ|^2=3.

　　所以PQ的最小值为：√3.

　　2(1),所求圆C的方程为：(x-2)^2+(y-2)^2=8.

　　(2),椭圆x^2/a^2+y^2/9=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10,

　　则：2a=10,a=5.

　　所以椭圆方程为：x^2/25+y^2/9=1.

　　椭圆右焦点F(4,0),|OF|=4.

　　设圆C上存在异于原点的点Q坐标为(a,b),(ab不=0)

　　点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.

　　则：(a-2)^2+(b-2)^2=8①,且(a-4)^2+b^2=16②.

　　①-②,化简得：a=b,

　　代入①,得：a=4,b=4或a=0,b=0（舍去）

　　所以存在点Q(4,4),使点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.