利用极坐标计算二重积分,有公式

　　∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ,其中积分区域是一样的.

　　I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2dy

　　x的积分上限是1,下限0

　　y的积分上限是x,下限是x��

　　积分区域D即为直线y=x,和直线y=x��在区间[0,1]所围成的面积,转换为极坐标后,θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围：

　　因为y=x��的极坐标方程为：rsinθ=r��cos��θr=sinθ/cos��θ

　　因为直线y=kx和曲线y=x��的交点为(0,0),(k,k��),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos��θ],则积分I化为极坐标的积分为

　　I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)��+(rsinθ)��rdr

　　=∫dθ∫dr(θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos��θ])

　　=∫(sinθ/cos��θ)dθ(θ范围[0,π/4])

　　=∫(-1/cos��θ)dcosθ

　　=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])

　　=1/cos(π/4)-1/cos0

　　=√2-1