一道导数的题目f(x)在(0,+∞)有定义,对于任意x∈(0-查字典问答网
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  一道导数的题目f(x)在(0,+∞)有定义,对于任意x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又f'(1)=a≠1.证明对任意x∈(0,+∞),f'(x)存在并求之

  一道导数的题目

  f(x)在(0,+∞)有定义,对于任意x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又f'(1)=a≠1.

  证明对任意x∈(0,+∞),f'(x)存在并求之

3回答
2020-04-16 23:59
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李金海

  1+(a-1)/x

2020-04-17 00:02:54
董志林

  能写下详细过程么。。。

2020-04-17 00:03:38
李金海

  f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1)得到f(xy)=f(x)+f(y)+xy-x-y+1所以f(xy)-xy=f(x)-x+f(y)-y+1令F(u)=f(u)-u则有F(xy)=F(x)+F(y)+1因为f'(1)=a所以F(u)在u=1处也可导,且导数为a-1下面开始写导数定义:F'(x)=lim(△x->0)[F(x+△x)-F(x)]/△x=lim(△x->0)[F(x(1+△x/x))-F(1x)]/△x=(1/x)lim(△x->0){[F(x)+F(1+△x/x))+1]-[F(1)+F(x)+1]}/(△x/x)=(1/x)lim(△x->0)[F(1+△x/x))]-[F(1)]}/(△x/x)=(1/x)F'(1)=(a-1)/xf'(x)=F'(x)+1=1+(a-1)/x

2020-04-17 00:07:12

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