证明：

　　令滑动变阻器接入电路电阻的功率Px为因变量,滑动变阻器接入电路电阻Rx为自变量,则

　　串联电路的总电阻：R总=R1+R2

　　滑动变阻器接入电路电阻的两端电压为：U2=R2U/(R2+R1)

　　滑动变阻器接入电路电阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²]×(1/R2)

　　即：P2=[R2/(R2+R1)²]U²=[1/(R2+2R1+R²1/R2)]U².(1)

　　令Y=R2+2R1+R1²/R2,设R2=x,R1=a,则原式可变为：

　　y=x+2a+a²/x

　　=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)

　　=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)

　　=4a+[√x-(a/√x)]²

　　当√x-(a/√x)=0时,上式取得最小值,即当x=a时,y取得最小值,其最小值为4a.

　　根据上面所设的关系,即当R2=R1时,Y取得最小值,即最小值Y=4R1

　　而当Y取得最小值时,1/(R2+2R1+R1/R2)即可取得最大值,则分析上面（1）式可知,此时P2取得最大值,P2的最大值为：P2=U²/4R1

　　综上所述,当R2=R1时,即滑动变阻器与定值电阻平分电压时,滑动变阻器消耗功率的功率为最大值,其最大值为U²/4R1.

　　有简单的方法么，还有滑动变阻器接入电路电阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²]×(1/R2)怎么来的？

　　就是用这样的方法了。记得去年中考前，老师说：最简单的求极值的方法一步，可用求导数的方法。但似乎要到大学才学习的。

　　能用一元二方程的最值做么

　　y=x+2a+a²/x=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)=4a+[√x-(a/√x)]²以上这个就是采用二次函数求极值的，运用了配方法。注意：这一步，其实可以不用换元，只是为了观察起来方便才换元的。即令R1=a，R2=x。