负数

　　人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量.比如,在记帐时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食.为了方便,人们就考虑了相反意义的数来表示.于是人们引入了正负数这个概念,把余钱进粮食记为正,把亏钱、出粮食记为负.可见正负数是生产实践中产生的.

　　据史料记载,早在两千多年前,我国就有了正负数的概念,掌握了正负数的运算法则.人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算.比如,356摆成|||,3056摆成等等.这些小竹棍叫做“算筹”算筹也可以用骨头和象牙来制作.

　　我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献.刘徽首先给出了正负数的定义,他说：“今两算得失相反,要令正负以名之.”意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们.

　　刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法.他说：“正算赤,负算黑；否则以邪正为异”意思是说,用红色的小棍摆出的数表示正数,用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数,用正摆的小棍表示正数.

　　我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中,最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之；其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”,“无”就是“零”.

　　用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减,等于其绝对值相减,异号两数相减,等于其绝对值相加.零减正数得负数,零减负数得正数.异号两数相加,等于其绝对值相减,同号两数相加,等于其绝对值相加.零加正数等于正数,零加负数等于负数.”

　　这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的,与现在的法则完全一致!负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一.

　　用不同颜色的数表示正负数的习惯,一直保留到现在.现在一般用红色表示负数,报纸上登载某国经济上出现赤字,表明支出大于收入,财政上亏了钱.

　　负数是正数的相反数.在实际生活中,我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量.夏天武汉气温高达42°C,你会想到武汉的确象火炉,冬天哈尔滨气温-32°C一个负号让你感到北方冬天的寒冷.

　　在现今的中小学教材中,负数的引入,是通过算术运算的方法引入的：只需以一个较小的数减去一个较大的数,便可以得到一个负数.这种引入方法可以在某种特殊的问题情景中给出负数的直观理解.而在古代数学中,负数常常是在代数方程的求解过程中产生的.对古代巴比伦的代数研究发现,巴比伦人在解方程中没有提出负数根的概念,即不用或未能发现负数根的概念.3世纪的希腊学者丢番图的著作中,也只给出了方程的正根.然而,在中国的传统数学中,已较早形成负数和相关的运算法则.

　　除《九章算术》定义有关正负运算方法外,东汉末年刘烘（公元206年）、宋代扬辉（1261年）也论及了正负数加减法则,都与九章算术所说的完全一致.特别值得一提的是,元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外,还给出了关于正负数的乘除法则.他在算法启蒙中

　　负数在国外得到认识和被承认,较之中国要晚得多.在印度,数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根.而在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数.直到十七世纪荷兰人日拉尔（1629年）才首先认识和使用负数解决几何问题.

　　与中国古代数学家不同,西方数学家更多的是研究负数存在的合理性.16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数.帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说.帕斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数,他说（-1）：1=1：（-1）,那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢?直到1712年,连莱布尼兹也承认这种说法合理.英国数学家瓦里承认负数,同时认为负数小于零而大于无穷大（1655年）.他对此解释到：因为a＞0时,英国著名代数学家德·摩根在1831年仍认为负数是虚构的.他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁,其子29岁.问何时父亲年龄将是儿子的二倍?”他列方程56+x=2（29+x）,并解得x=-2.他称此解是荒唐的.当然,欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了.随着19世纪整数理论基础的建立,负数在逻辑上的合理性才真正建立.

　　自然数

　　数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大不相同.

　　古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用.实际上,罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的.它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数：

　　1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍.如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”.

　　2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如“VI”表示“6”,“DC”表示“600”.一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如“IV”表示“4”,“XL”表示“40”,“VD”表示“495”.

　　3．上加横线：在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍.

　　其他国家和地区的人民,则是普遍认同十位进制的记数符号,即1、2、3、4、5、6、7、8、9,遇到“零”就用黑点“·”表示,比如“6708”,就可以表示为“67·8”.后来这个表示“零”的“·”,逐渐变成了“0”.

　　如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有“0”.其实在公元5世纪时,“0”已经传入罗马.但罗马教皇凶残而且守旧.他不允许任何使用“0”.有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明,就被教皇召去,施行了拶刑,使他再也不能握笔写字.

　　现在世界通用的数符号1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人们称之为阿拉伯数字.实际上它们是古代印度人最早使用的.后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去,又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲,逐渐演变成今天的阿拉伯数字.

　　附：后来人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的.如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了.自然数、分数和零,通称为算术数.自然数也称为正整数.

　　接着人们又发现很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退,为了表示这样的量,又产生了负数.正整数、负整数和零,统称为整数.如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数.公元前2500年,毕达哥拉斯的学生在研究1与2的比例中项时,发现没有一个能用整数比例写成的数可以表