高等数学中的空间计算问题

　　利用三重积分：

　　第一个曲面z=根号(x^2+y^2)是椎体顶点在原点(0,0,0),在z>0的空间内.

　　第二个曲面z=2-x^2-y^2是椭圆抛物面,经过了向上的平移,顶点在(0,0,2)

　　他们之间的空间就是要求的空间:

　　上顶:z1=2-x^2-y^2

　　下底:z2=根号(x^2+y^2)

　　交线:x^2+y^2=1且z=1,是一个圆

　　观察可知,利用柱面坐标系

　　x=ρ*cos(φ)

　　y=ρ*sin(φ)

　　z=z

　　带入上顶和下底的方程可得:

　　z1(x,y)=z1[ρ*cos(φ),ρ*sin(φ)]=2-ρ^2

　　z2(x,y)=z2[ρ*cos(φ),ρ*sin(φ)]=ρ

　　则体积元为:dV=ρ*dρ*dφ*dz

　　求三重积分

　　∫∫∫dV=∫∫∫ρ*dρ*dφ*dz

　　先对z积分:ρ到2-ρ^2

　　再对半径ρ:0到1

　　再对角度q积分:0到2π

　　∫∫∫dV=∫∫∫ρ*dρ*dφ*dz

　　第一次积分（2-ρ^2-ρ）*ρ

　　第二次积分5/12

　　第三次积分5/6π

　　第二题：

　　第一个平面法向量a=(1,1,1),第二个平面法向量b=(2,3,4)

　　直线方向向量n1=a×b=(1,-2,1)

　　平面π法向量n2,

　　由直线垂直与平面可得,n1//n2,易得λ=-2

　　交点在直线和平面π上,联立直线方程和平面方程,

　　X+Y+Z=1

　　2X+3Y+4Z=-1

　　2X-4Y+2Z=1

　　解得（X,Y,Z）=(29/12,1/6,-19/12)

　　综上所述：λ=-2,交点（X,Y,Z）=(29/12,1/6,-19/12)