设函数f(x)=p(x-1/x)-2Inx,g(x)=2e/-查字典问答网
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来自蒋胜龙的问题

  设函数f(x)=p(x-1/x)-2Inx,g(x)=2e/x(p是实数,e为自然对数的底数)若在【1,e】上至少存在一点X0(0是下标),使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.

  设函数f(x)=p(x-1/x)-2Inx,g(x)=2e/x(p是实数,e为自然对数的底数)

  若在【1,e】上至少存在一点X0(0是下标),使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.

1回答
2020-04-25 00:56
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郭家虎

  设h(p)=p(x0-1/x0)-2lnx0,x0∈【1,e】

  (x0-1/x0)>0

  所以h(p)=p(x0-1/x0)-2lnx0单增

  当p=1时

  f(x)=p(x-1/x)-2lnx=x-1/x-2lnx

  f'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2>=0

  f(x)=x-1/x-2lnx在【1,e】上单增

  最大值f(e)=e-1/e-2g(x0)成立

  所以p>1,这时

  f'(x)=p+p/x^2-2/x>1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2>=0

  f(x)=p(x-1/x)-2lnx在【1,e】上单增

  k(x)=f(x)-g(x)在【1,e】上单增(因为g(x)在【1,e】上单减)

  在【1,e】上至少存在一点X0(0是下标),使得f(x0)>g(x0)成立

  只需k(x)最大值k(e)>0

  k(e)=p(e-1/e)-2-2>0

  p>4/(e-1/e)

2020-04-25 01:01:29

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