1、数学归纳法：

　　1）当n=1时,显然成立

　　2）设n=k时成立,则1^3+2^3+.+k^3=[k(k+1)/2]^2

　　则,当n=k+1时,

　　1^3+2^3+.+k^3+(k+1)^3

　　=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3

　　=(k+1)^2[(k/2)^2+k+1]

　　=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]

　　=(k+1)^2[(k+2)/2]^2

　　=(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2

　　即n=k+1时也成立

　　综上,1^3+2^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2

　　2、导数和微积分：

　　令1^3+2^3+...n^3=S(n),两边取导数,

　　3(1^2+2^2+...+n^2)=S'(n)

　　已知1^2+2^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

　　则有S'(n)=n(n+1)(2n+1)/2=(2n^3+3n^2+n)/2

　　对(2n^3+3n^2+n)/2求积分,得到(n^4+2n^3+n^2)/4+C=[n(n+1)/2]^2+C(C为常数)

　　将n=1代入,可得得C=0

　　即S(n)=[n(n+1)/2]^2