高中数学自主招生不等式求教x,y,z归属于R+x+y+z=1-查字典问答网
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  高中数学自主招生不等式求教x,y,z归属于R+x+y+z=1x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值

  高中数学自主招生不等式求教

  x,y,z归属于R+x+y+z=1x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值

1回答
2020-04-24 16:38
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施国梁

  教你个添项配凑法

  x^4/[y(1-y^2)]+(9/64)y(1-y²)+y^4/[z(1-z^2)]+(9/64)z(1-z²)+z^4/[x(1-x^2)]+(9/64)x(1-x²)

  ≥(6/8)x²+(6/8)y²+(6/8)z²

  于是原式≥(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-(x+y+z)+(x³+y³+z³)]

  =(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-1+(x³+y³+z³)]

  因为x²+y²+z²≥(1/3)(x+y+z)²=1/3

  x³+y³+z³≥(1/9)(x+y+z)³=1/9

  所以(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-1+(x³+y³+z³)]

  ≥(6/8)(1/3)+(9/64)[-1+(1/9)]

  =(2/8)-(1/8)=1/8

  以上等号成立条件均为x=y=z=1/3

  于是原式≥1/8

  【至于添项配凑法技巧,你可以去网上收收看,可以练习练习】

2020-04-24 16:39:57

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