切比雪夫不等式切比雪夫（Chebyshev）不等式

　　对于任一随机变量X,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0,

　　恒有P{|X-EX|>=ε}=ε}

　　越小,P{|X-EX|=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用.需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛,但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较保守.

　　切比雪夫不等式是指在任何数据集中,与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2.

　　在概率论中,切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均.这个不等式以数量化这方式来描述,究竟「几乎所有」是多少,「接近」又有多接近：

　　与平均相差2个标准差的值,数目不多於1/4

　　与平均相差3个标准差的值,数目不多於1/9

　　与平均相差4个标准差的值,数目不多於1/16

　　……

　　与平均相差k个标准差的值,数目不多於1/k2

　　举例说,若一班有36个学生,而在一次考试中,平均分是80分,标准差是10分,我们便可得出结论：少於50分（与平均相差3个标准差以上）的人,数目不多於4个（=36*1/9）.

　　测度论说法

　　设(X,Σ,μ)为一测度空间,f为定义在X上的广义实值可测函数.对於任意实数t>0,

　　一般而言,若g是非负广义实值可测函数,在f的定义域非降,则有

　　上面的陈述,可透过以|f|取代f,再取如下定义而得：

　　概率论说法

　　设X为随机变数,期望值为μ,方差为σ2.对於任何实数k>0,

　　改进

　　一般而言,切比雪夫不等式给出的上界已无法改进.考虑下面例子：

　　这个分布的标准差σ=1/k,μ=0.

　　当只求其中一边的值的时候,有Cantelli不等式：

　　[1]

　　证明

　　定义,设为集的指标函数,有

　　又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有Pr(|Y|leopeatorname{E}(|Y|)/a.取Y=(Xμ)2及a=(kσ)2.

　　亦可从概率论的原理和定义开始证明：