1.这个函数可以求导,易知该函数的定义域为X＞0

　　∵x=e^lnx

　　设f(x)=x^x=e^(xlnx)

　　f′(x)=e^(xlnx)·(xlnx)′

　　=e^(xlnx)·(1+lnx)=x^x(1+lnx)

　　令f′(x)＞0,解得x>1/e

　　f′(x)＜0,解得0

　　这里要用到一个重要的函数极限，limx→﹢∞（1+1/x）^x=e[（1+1/x）^x]′=（1+1/x）^x[ln(1+1/x)﹣1/1+x]∵在﹙0，+∞﹚上，（1+1/x）^x＞0恒成立∴只需判断ln(1+1/x)﹣1/1+x的符号对h(x)=ln(1+1/x)﹣1/1+x求导得，h′(x)＝-1/x(x+1)²＜0∴h(x)=ln(1+1/x)﹣1/﹙1+x﹚在﹙0，+∞﹚上单调递减∵ln(1+1/x)﹣1/﹙1+x﹚=[（x+1）ln(1+1/x)﹣1]／(x+1)又∵（x+1）ln(1+1/x)＞xln(1+1/x)根据极限的保不等式性limx→﹢∞（x+1）ln(1+1/x)＞limx→﹢∞xln(1+1/x)=limx→﹢∞ln(1+1/x)^x=lne=1∴limx→﹢∞（x+1）ln(1+1/x)＞1∴在﹙0，+∞﹚上（x+1）ln(1+1/x)﹣1＞0恒成立∴[（x+1）ln(1+1/x)﹣1]／（x+1）＞0即ln(1+1/x)﹣1/1+x＞0∴（1+1/x）^x[ln(1+1/x)﹣1/1+x]＞0∴﹙1+1/x﹚^x在﹙0,﹢∞﹚上单调递增

　　这是一个重要的极限，是前几倍的数学家发现的