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  数学分析中函数单调性问题设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x),使得f在U(x)上单调增加,证明:f在(a,b)上单调增加.

  数学分析中函数单调性问题

  设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x),使得f在U(x)上单调增加,证明:f在(a,b)上单调增加.

1回答
2020-04-24 14:28
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陈贵荣

  证明:

  设s,t是开区间(a,b)内的任意两点,且设s<t,下面我们来证明f(s)<f(t)

  由已知,闭区间[s,t]中的所有点的邻域覆盖了闭区间[s,t],

  而有限覆盖定理告诉我们,从这无穷个邻域中可选出有个,它们就已经覆盖了这个闭区间[s,t]

  设这有限个邻域分别为:

  U(s),U(r1),U(r2),…,U(rn),U(t)

  又设x1∈U(s)∩U(r1),x2∈U(r1)∩U(r2),…,x(n+1)∈U(rn)∩U(t)

  则可以看出任何两个相邻的,比xm,x(m+1)都必同属于一个相同的邻域U(rm)

  上式中的m满足,1≤m≤n

  从而由已知,可得

  f(s)<f(x1)<f(x2)<…<f(x(n+1))<f(t)

  这就证明了f(s)<f(t)

  证完.

2020-04-24 14:31:30

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