（1）由于x∈（0，1）时，f'（x）=1-cosx＞0恒成立，可得函数f（x）在（0，1）是增函数．

　　（2）用数学归纳法证明0≤an+1＜an＜1成立．

　　（3）先用导数判断函数的单调性，并利用单调性证明，再证明a1= 时，an≤，由此即可证得

　　结论．

　　证明：（1）∵x∈（0，1）时，∴f'（x）=1-cosx＞0恒成立，

　　∴函数f（x）在（0，1）是增函数．…（3分）

　　（2）∵a2=f（a1）=a1-sina1，∴a2-a1=-sina1．

　　∵0＜a1＜1，∴∴six＜x恒成立．…（5分）

　　1当n=1时，0＜a1＜a2＜12 命题成立．

　　3假设当n=k时命题成立，即0≤ak+1＜ak＜14，

　　∵0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1-sin1＜1恒成立，…（8分）

　　∴f（0）＜f（ak+1）＜f（ak）＜f（1），即0≤ak+2＜ak+1＜1-sin1＜1，

　　故当n=k+1时，命题成立．

　　根据①②可知对于任意n∈N*命题0≤an+1＜an＜1均成立；

　　（3）证明：先证明，即证an+1-=an-sinan-＜0，an∈（0，1）．

　　令∅（x）=xsinx-，x∈（0，1），则∅′（x）=-x+1-cosx．

　　再令g（x）=∅′（x），则g′（x）=-1+sinx≤0，故g（x）=∅′（x）在（0，1）上是减函数，

　　故∅′（x）＜∅′（0）=0，故∅（x）在（0，1）上是减函数，故∅（x）＜∅（0）=0恒成立．

　　再由an∈（0，1），∅（an）＜0，即an-sinan-＜0，故有．

　　再证明a1= 时，an≤．

　　由 可得＜．再由an＜an-1＜an-2＜…＜a2＜a1，

　　当n≥2时，an=a1••…＜a1••…＜a1••… 

　　==＜=，

　　即an＜．…（14分）