已知函数f(x)=以a为底【(1-mx)/(x-1)】的对数-查字典问答网
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  已知函数f(x)=以a为底【(1-mx)/(x-1)】的对数,是奇函数(a>0,a不等于1)判断f(x)在区间(1,正无穷)上的单调性并加以证明

  已知函数f(x)=以a为底【(1-mx)/(x-1)】的对数,是奇函数(a>0,a不等于1)判断f(x)在区间(1,正无穷)上的单调性并加以证明

1回答
2020-04-24 23:44
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郭学理

  因为f(x)是奇函数,故-f(x)=f(-x)即:

  —log以a为底【(1-mx)/(x-1)】的对数=log以a为底【(1+mx)/(-x-1)】的对数

  即log以a为底【(x-1)/(1-mx)】的对数=log以a为底【(1+mx)/(-x-1)】的对数

  即【(x-1)/(1-mx)】=【(1+mx)/(-x-1)】

  解出m=1或m=-1,代入原式,m=1不符,故m=-1

  此时f(x)=log以a为底【(1+x)/(x-1)】的对数

  定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)

  下面求单调性有两种方法:

  方法一:导函数方法

  对f(x)求导得:f′(x)=-2[1/(x+1)*(x-1)]log以a为底e的对数

  在(1,+∞)上-2/[(x+1)*(x-1)]显然为负,故只需讨论“log以a为底e的对数”的正负即可

  ①0<a<1时,整体为正,故大于0,f(x)单调递增

  ②a>1时,整体为负,f(x)单调递减

  方法二:复合函数的单调性

  f(x)=log以a为底【(1+x)/(x-1)】的对数

  =log以a为底【(x-1+2)/(x-1)】的对数

  =log以a为底【1+2/(x-1)】的对数

  而1+2/(x-1)是平移后的反比函数,在(1,+∞)上单调递减,

  由复合函数的单调性“减减得增,减增得减”的道理,下面只需要判断以a为底的对数函数的单调性即可,

  ①0<a<1时,对数函数是减得,故复合函数为增

  ②a>1时,对数函数为增,故复合函数为减

2020-04-24 23:46:08

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