已知函数y=f（x）对任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=-查字典问答网

来自杜立群的问题

　　已知函数y=f（x）对任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-23．（1）判断并证明f（x）在R上的单调性；（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

　　已知函数y=f（x）对任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-23．

　　（1）判断并证明f（x）在R上的单调性；

　　（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

1回答

2020-04-25 01:45

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崔志强

　　解（1）f（x）在R上是单调递减函数

　　证明如下：

　　令x=y=0，f（0）=0，令x=-y可得：f（-x）=-f（x），在R上任取x1＜x2，则x2-x1＞0，

　　∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）．

　　又∵x＞0时，f（x）＜0，

　　∴f（x2-x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．由定义可知f（x）在R上为单调递减函数．

　　（2）∵f（x）在R上是减函数，

　　∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．

　　∴f（-3）最大，f（3）最小．

　　f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-23

2020-04-25 01:46:06