设常数a≠0，函数f(x)=lgx+1-2ax+1+3a．（1）当a=1时，判断并证明函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性．（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数或偶函数？若存在，求出a的值，并判断相应

　　设常数a≠0，函数f(x)=lgx+1-2ax+1+3a．

　　（1）当a=1时，判断并证明函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性．

　　（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数或偶函数？若存在，求出a的值，并判断相应的y=f（x）的奇偶性；若不存在，说明理由．