【设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x-查字典问答网

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　　【设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）-f（x2）|＜2．】

　　设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．

　　（Ⅰ）求a的值，并讨论f（x）的单调性；

　　（Ⅱ）证明：对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）-f（x2）|＜2．

1回答

2020-04-24 16:55

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多旭亮

　　（Ⅰ）f′（x）=ex[ax2+（2a+1）x+2]；

　　由已知条件知：f′（1）=3e（a+1）=0，∴a=-1；

　　∴f（x）=ex（-x2+x+1），f′（x）=ex（-x2-x+2）；

　　∴解-x2-x+2＞0得：-2＜x＜1；解-x2-x+2＜0得：＜-2，或x＞1；

　　∴函数f（x）在[-2，1]上单调递增，在（-∞，-2）和（1，+∞）上单调递减．

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[0，1]上单调递增；

　　∴函数f（x）在[0，1]上的值域为：[f（0），f（1）]=[1，e]；

　　∴对任意x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤e-1＜2；

　　∴对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）-f（x2）|＜2．

2020-04-24 16:59:25