【已知函数f(x)=x^2-alnx在(1,2]上增函数,g-查字典问答网
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来自李新霞的问题

  【已知函数f(x)=x^2-alnx在(1,2]上增函数,g(x)=x-ax^(1/2)在(0,1)上为减函数.(1.)求f(x)、g(x)的解析式(2.)求证,当x>0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解】

  已知函数f(x)=x^2-alnx在(1,2]上增函数,g(x)=x-ax^(1/2)在(0,1)上为减函数.

  (1.)求f(x)、g(x)的解析式(2.)求证,当x>0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解

1回答
2020-04-24 20:25
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孙新宇

  (1)由题可得f'(x)=2x-ax^(1/2)≥0在(1,2]上恒成立,即2x^2-a≥0在(1,2】上恒成立,∴2-a≥0

  ∴a≥2g'(x)=1-(a/2)x^(-1/2)≤0在(0≤0,1)上恒成立,即2x^(1/2)-a≤0在(0,1)上恒成立,

  ,∴2-a≤0,a≤2∴a=2f(x)=x^2-2lnxg(x)=x-2x^(1/2)

  (2.)f(x)=g(x)+2即x^2-2lnx=x-2x^(1/2)+2令h(x)=x^2-2lnx-x+2x^(1/2)-2

  h'(x)=(2x^2-x+x^(1/2)-2)/xx=1时,h'(x)=0,0<x<1时,h'(x)<0,此时h(x)递减

  x>1时,h'(x)>0,此时h(x)递增∴h(x)min=h(1)=0∴h(x)=0时有唯一解x=1

  即当x>0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解

2020-04-24 20:27:52

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