对数的性质及推导

　　定义：

　　若a^n=b(a>0且a≠1)

　　则n=log(a)(b)

　　基本性质：

　　1、a^(log(a)(b))=b

　　2、log(a)(a^b)=b

　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

　　推导

　　1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.

　　2、因为a^b=a^b

　　令t=a^b

　　所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

　　3、MN=M×N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]=(M)*(N)

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

　　又因为指数函数是单调函数,所以

　　log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

　　4、与（3）类似处理

　　MN=M÷N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(M÷N)]=a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M÷N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数,所以

　　log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

　　5、与（3）类似处理

　　M^n=M^n

　　由基本性质1(换掉M)

　　a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

　　又因为指数函数是单调函数,所以

　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　基本性质4推广

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　推导如下：

　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　换底公式的推导：

　　设e^x=b^m,e^y=a^n

　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)

　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　由基本性质4可得

　　log(a^n)(b^m)=[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]=(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

　　再由换底公式

　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）

　　[编辑本段]

　　函数图象

　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.

　　2.对于y=log(a)(n)函数,

　　①,当0