1对数的概念

　　如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

　　由定义知：

　　①负数和零没有对数;

　　②a>0且a≠1,N>0;

　　③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

　　特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.

　　2对数式与指数式的互化

　　式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

　　3对数的运算性质

　　如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

　　(1)loga(MN)=logaM+logaN.

　　(2)logaMN=logaM-logaN.

　　(3)logaMn=nlogaM(n∈R).

　　问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?

　　②logaan=?(n∈R)

　　③对数式与指数式的比较.(学生填表)

　　式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数

　　b—

　　N—a—对数的底数

　　b—

　　N—运

　　算

　　性

　　质am·an=am+n

　　am÷an=

　　(am)n=

　　(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

　　logaMN=

　　logaMn=(n∈R)

　　(a>0,a≠1,M>0,N>0)

　　难点疑点突破

　　对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?

　　理由如下：

　　①若a＜0,则N的某些值不存在,例如log-28

　　②若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数

　　③若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数

　　为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数

　　解题方法技巧

　　1

　　(1)将下列指数式写成对数式：

　　①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.

　　（2）将下列对数式写成指数式：

　　①log1216=-4；②log2128=7；

　　③log327=x；④lg0.01=-2；

　　⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.

　　解析由对数定义：ab=NlogaN=b.

　　解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.

　　③log327=x.④log135.73=m.

　　解题方法

　　指数式与对数式的互化,必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.

　　④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.

　　2

　　根据下列条件分别求x的值：

　　(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

　　(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.

　　解析(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?

　　(2)log5x=20=1.x=?

　　(3)31+log32=3×3log32=?27=x?

　　(4)2+3=x-1=1x.x=?

　　解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

　　(2)log5x=20=1,x=51=5.

　　(3)logx27=3×3log32=3×2=6,

　　∴x6=27=33=(3)6,故x=3.

　　(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

　　解题技巧

　　①转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.

　　②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

　　已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.

　　解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；

　　思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值

　　解答解法一∵logax=4,logay=5,

　　∴x=a4,y=a5,

　　∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.