定义：

　　若a^n=b(a>0且a≠1)

　　则n=log(a)(b)

　　基本性质：

　　1、a^(log(a)(b))=b

　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　推导

　　1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.

　　2、MN=M×N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数,所以

　　log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

　　3、与（2）类似处理

　　MN=M÷N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(M÷N)]=a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M÷N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数,所以

　　log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

　　4、与（2）类似处理

　　M^n=M^n

　　由基本性质1(换掉M)

　　a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

　　又因为指数函数是单调函数,所以

　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　基本性质4推广

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　推导如下：

　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)÷ln(b^n)

　　由基本性质4可得

　　log(a^n)(b^m)=[n×ln(a)]÷[m×ln(b)]=(m÷n)×{[ln(a)]÷[ln(b)]}

　　再由换底公式

　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）

　　其他性质

　　[编辑本段]

　　性质一：换底公式

　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

　　推导如下：

　　N=a^[log(a)(N)]

　　a=b^[log(b)(a)]

　　综合两式可得

　　N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　又因为N=b^[log(b)(N)]

　　所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}

　　所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

　　证明如下：

　　由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数

　　log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1