（1）

　　形如1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数(还可以推广到等差数列的倒数之和)；

　　也是P-级数(自然数数列的整数p次幂的倒数之和)的特例；黎曼zeta函数也由此得来.

　　（2）Euler(欧拉)在1734年,利用Newton在一书中写到的结果：ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-,得到：

　　ln(1+1/x)=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...

　　于是：

　　1/x=ln((x+1)/x)+1/2x^2-1/3x^3+...

　　代入x=1,2,...,n,就给出：

　　1/1=ln(2)+1/2-1/3+1/4-1/5+...

　　1/2=ln(3/2)+1/2*4-1/3*8+1/4*16-...

　　.

　　1/n=ln((n+1)/n)+1/2n^2-1/3n^3+...

　　相加,就得到：

　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+{1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2)-1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3)+...}

　　=ln(n+1)+γ(n)

　　当n趋于无穷大时,γ(n)收敛为常数,记成γ.

　　欧拉当时近似地计算得到0.577218,1761年又计算到第16位；1790年,意大利数学家马歇罗尼(LorenzoMascheroni)引入了γ作为这个常数的符号,并进一步计算之.其部分数值：0.57721566490153286060651209.

　　这个数一般称作欧拉常数,目前没有公认的成果判定该数是否为无理数.

　　（3）中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单：

　　1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...>1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...,显然后者为无数个1/2的和,是发散的.

　　(类似可证当p>1时,p-级数却是收敛的:

　　(4)附基本概念：

　　级数：将数列un的项u1,u2,…,un,…依次用加号连接起来的函数

　　此时该数列的通项也称为级数的通项；数列的部分和也称为级数的部分和.

　　一般所讲的级数是指无穷项的,所以与“数列的部分和”这个概念并不等价,但他们是相关的,有时可以不加区分.

　　请参考：

　　*1

　　*2P-级数

　　*3欧拉常数

　　或

　　*3搜搜问问