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  【高中数学指数函数对数函数三角函数的导数公尺最好有高考试题分析讲解】

  高中数学指数函数对数函数三角函数的导数公尺

  最好有高考试题分析讲解

1回答
2020-04-27 01:00
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商云飞

  对数函数的导数公式-导数运算公式,导数公式导数公式

  e只是一个常数,无理数,稍大于2.7

  y=e^x

  dy/dx=e^x

  关于三楼的说法,其实不应该用n表示,应该用x表示,因为我们一般认为n只是整数或者自然数,而x则是任意实数。所以应该是(1+x)^(1/x)在x趋向于∞的时候的极限值称为e

  导数公式

  在湘教版高中数学2-2就有了,基本初等函数导数公式主要有以下

  y=f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0

  f(x)=x^n(n不等于0)f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)

  f(x)=sinxf'(x)=cosx

  f(x)=cosxf'(x)=-sinx

  f(x)=a^xf'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)

  f(x)=e^xf'(x)=e^x

  f(x)=logaXf'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)

  f(x)=lnxf'(x)=1/x(x>0)

  f(x)=tanxf'(x)=1/cos^2x

  f(x)=cotxf'(x)=-1/sin^2x

  导数运算法则如下

  (f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/-g'(x)

  (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

  (g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2

  导数公式有哪些

  1.y=c(c为常数)y'=0

  2.y=x^ny'=nx^(n-1)

  3.y=a^xy'=a^xlna

  y=e^xy'=e^x

  4.y=logaxy'=logae/x

  y=lnxy'=1/x

  5.y=sinxy'=cosx

  6.y=cosxy'=-sinx

  7.y=tanxy'=1/cos^2x

  8.y=cotxy'=-1/sin^2x

  9.y=arcsinxy'=1/√1-x^2

  10.y=arccosxy'=-1/√1-x^2

  11.y=arctanxy'=1/1+x^2

  12.y=arccotxy'=-1/1+x^2

  在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:

  1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]&8226;g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

  2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

  3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'

  证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

  2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

  3.y=a^x,

  ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

  ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

  如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。

  所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

  显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

  把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

  可以知道,当a=e时有y=e^xy'=e^x。

  4.y=logax

  ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

  ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

  因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

  lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

  可以知道,当a=e时有y=lnxy'=1/x。

  这时可以进行y=x^ny'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

  所以y'=e^nlnx&8226;(nlnx)'=x^n&8226;n/x=nx^(n-1)。

  5.y=sinx

  ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

  ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

  所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)&8226;lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

  6.类似地,可以导出y=cosxy'=-sinx。

  7.y=tanx=sinx/cosx

  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

  8.y=cotx=cosx/sinx

  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx

  x=siny

  x'=cosy

  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

  10.y=arccosx

  x=cosy

  x'=-siny

  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx

2020-04-27 01:01:19

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