首先需要二项式定理：

　　（a+b）^n=∑C（i=0–>i=n）nia^(n-i)*b^i（式一）

　　用数学归纳法证此定理：

　　n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

　　a+b

　　故此，n=1时，式一成立。

　　设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立，即：

　　（a+b）^n1=∑C（i=0–>i=n1）n1ia^(n1-i)*b^i（式二）

　　则，当n=n1+1时:

　　式二两端同乘（a+b）

　　[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑C（i=0–>i=n1）n1ia^(n1-i)*b^i]*(a+b)

　　=>(a+b)^(n1+1)=∑C（i=0–>i=(n1+1)）(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

　　因此二项式定理（即式一成立）

　　下面用二项式定理计算这一极限：

　　（1+1/n）^n（式一）

　　用二项式展开得：

　　（1+1/n）^n=1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3+…+[(n(n-1)(n-2)…3)/((n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^(n-2)+[(n(n-1)(n-2)…3*2)/((n-1)(n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^(n-1)+[(n(n-1)(n-2)…3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^n

　　由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n->+∞,得0。因此总的结果是当n->+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

　　（1+1/n）^n=1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+…+1/n！（式二）

　　当n->+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。

　　补充：

　　将式二和公比为1/2的等比数列比较，其每一项都小于此等比数列，而此等比数列收敛，因此，式二必定收敛于一固定数值。