自然对数则是由于微积分学的产生可以解决变量之间的函数关系而发展起来的.

　　为什么选用e为对数的底数呢?

　　其原因是:

　　在微积分学创立之前,要以真数算出它相应的数来是有一定困难的.

　　当时只能利用公式N=alogaN,从对数算出相应的真数,这样在计算时只要进行开方运算.如果把这种真数的间隔变更小了,不论是从真数查对数,还是由对数反查真数,都比较方便.对于表中没有的数,我们可以根据线性插值的方法求得比较精确的近似值.像这样形式的数,一般可表示为(1+(1/n))^n.当n=104,n=105,就是上面所说的两种形式.

　　显然,n越大,用(1+(1/n))^n作底所编制出的对数表就越能满足我们的要求.

　　级数(1+1/1),(1+1/2)^2,(1+1/3)^3,···(1+1/n)^n,···是收敛的.

　　1727年欧拉

　　(Euler,1707-1783)首先把这个级数的极限值记作e,即limn→∞(1+(1/n))^n=e(e≈2.7182818···).

　　从理论上讲,用上面所述的初等方法编制出来的对数表,应以e为底是最为理想的.但是,e是一个无理数,在实际计算时只能取它的近似值作为底.自从有了以e为底的对数表以后,利用换底公式,可得log10N=logeN/loge10=lnN/2.3025850929···.

　　这就不难进一步将以e为底的对数换算成以10为底的对数.

　　若方程中存在着Rf′(x)dx/f(x)的项,那么积分后便会出现以e为底的对数.而且,反映自然界规律的函数关系,总是以指数形式或对数形式出现的,所以必定是以e为底的对数.最能说明以e为底的指数或对数和自然界的关系是自然界的复利律.若发现一个函数y,其导数(变化率)与函数本身成正比,那么,我们便可断定所研究的函数一定是以e为底的指数函数或对数函数.若写成对数形式,则是以e为底的对数除一些经验式外,一般不可能有其它正数为底的指数或对数出现.

　　人们把以e为底的对数称作自然对数也就源于此.

　　而“e”作为数学符号使用最早的人是欧拉,为纪念他,才确定用“e”作为自然对数的底数.