证明

　　[[1]]

　　构造函数

　　g(x)=x(lnx),(x≥2)

　　求导,可得

　　g'(x)=(lnx)+1,

　　易知,当x≥2时,恒有g'(x)＞0

　　∴在x≥2时,该函数递增.

　　∴恒有g(x+1)＞g(x),(x≥2)]

　　即恒有(xlnx)-(x+1)ln(x+1)＜0,(x≥2)

　　[[2]]

　　构造函数f(x)=logx(x+1),(x≥2)(底数为x,真数为x+1)

　　=[ln(x+1)]/(lnx)(换底公式,)

　　求导,可得

　　f'(x)={(xlnx)-(x+1)ln(x+1)}/[x(x+1)(ln²x)]

　　结合上面可知,恒有f'(x)＜0,(x≥2)

　　∴在x≥2时,函数f(x)=logx(x+1)递减

　　∴f(2)＞f(3)

　　即log2(3)＞log3(4)