名称定义形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是p=1的p级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）.很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的.[编辑本段]调和级数的推导随后很长一段时间,人们无法使用公式去逼近调合级数,直到无穷级数理论逐步成熟.1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-...Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x)=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...于是：1/x=ln((x+1)/x)+1/2x^2-1/3x^3+...代入x=1,2,...,n,就给出：1/1=ln(2)+1/2-1/3+1/4-1/5+...1/2=ln(3/2)+1/2*4-1/3*8+1/4*16-....1/n=ln((n+1)/n)+1/2n^2-1/3n^3+...相加,就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2)-1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3)+.后面那一串和都是收敛的,我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+rEuler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜.所以答案是0.577218