在四棱柱P-ABCD中底面ABCD为矩形侧棱PA⊥底面ABCDAB=根号3BC=1PA=2E为PD的中点向量法（1）求AC与PB所成角的余弦值（2）在侧面PAB中找一点N使NE⊥面PAC
在四棱柱P-ABCD中底面ABCD为矩形侧棱PA⊥底面ABCDAB=根号3BC=1PA=2E为PD的中点向量法
（1）求AC与PB所成角的余弦值
（2）在侧面PAB中找一点N使NE⊥面PAC
以A点为原点建立直角坐标系,图略.
(1)则有各点坐标A(0,0,0),C(根号3,1,0),B(根号3,0,0),P(0,0,2),E((0,1/2,1)
所以向量AC=(根号3,1,0),向量PB=(根号3,0,-2)
由向量乘法公式,AC点乘PB=|AC||PB|cosθ（设θ为两向量夹角）
所以cosθ=AC点乘PB/(|AC||PB|)=3/(2*根号7)=3根号7/14
所以θ=arccos((3倍根号7)/14)
(2)设N点坐标为(x,0,z),则向量EN=(x,-1/2,z-1).
要使EN⊥面PAC,只需垂直于面内两条直线即可.向量AP=(0,0,2),向量AC=(根号3,1,0)
EN点乘AP=2(z-1)=0（向量点乘为0即垂直）=>z=1
EN点乘AC=根号3倍x-1/2=0=>x=1/2除以根号3=根号3/6
所以N点坐标为(根号3/6,0,1),解毕.
要点：向量点乘公式、直线垂直于直线的向量计算公式.