设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,a>0,b>0,焦点在x轴.

　　则渐近线为：

　　L1：y=(b/a)*x

　　L2：y=-(b/a)*x

　　P(x0,y0)是双曲线上任意一点,

　　设y=-(b/a)*x+d是过P点平行L2的直线,交y轴D(0,d),与L1交于E(x1,y1)

　　则d=(bx0+ay0)/a,

　　x1=(bx0+ay0)/(2b),x1与x0同号

　　因为三角形DOE的面积S1=|d*x1|/2

　　于是所求面积S=|x0*d|-2*S1=|x0*d|-|x1*d|

　　因为x0与x1同号,所以

　　S=|x0-x1|*|d|

　　=(bx0-ay0)(bx0+ay0)/(2ab)

　　=a^2*b^2/(2ab)=ab/2

　　即对已知双曲线,S=ab/2是定值.