显然f(x)=-x^2-2x为二次函数

　　其对称轴为x=-1,开口向下

　　令-x^2-2x=0,则x=0或x=-2

　　即x=0和x=-2为抛物线与x轴的交点（零点）

　　易知当-2<x<0时,f(x)>0

　　且知当x≤-2或x≥0时,f(x)≤0

　　因g[f(x)]由g(x与f(x)复合而成,令G(x)=g[f(x)]

　　当f(x)>0时,G(x)=f(x)+1/[4f(x)]=-x^2-2x-1/(4x^2+8x)（注意-2<x<0）

　　当f(x)≤0时,G(x)=f(x)+1=-x^2-2x+1（注意x≤-2或x≥0）

　　显然G(x)也是一个分段函数

　　易知当x≤-2或x≥0时,G(x)为开口向下的抛物线的两侧部分,呈“内八字型”

　　显然G(x)max=G(-2)=G(0)=1

　　而当-2<x<0时,g[f(x)]=-x^2-2x-1/(4x^2+8x)的图象较为复杂,不妨分析如下：

　　令G(x)=g[f(x)]=-x^2-2x-1/(4x^2+8x)（注意-2<x<0）

　　易知G'(x)=-2(x+1)+(x+1)/[2(x^2+2x)^2]

　　令G'(x)=0,解得x=-1,或x=-1-√2/2,或x=-1+√2/2（注意-2<x<0）

　　当-2<x<-1-√2/2时,G'(x)<0,表明G(x)递减

　　当-1-√2/2<x<-1时,G'(x)>0,表明G(x)递增

　　当-1<x<-1+√2/2时,G'(x)<0,表明G(x)递减

　　当-1+√2/2<x<0时,G'(x)>0,表明G(x)递增

　　显然x=-1-√2/2和x=-1+√2/2为G(x)的两个极小值点

　　注意到G(-1-√2/2)=G(-1+√2/2)=1

　　而x=-1为G(x)的一个极大值点

　　注意到G(-1)=5/4

　　另外,当x→-2或x→0时,G(x)→+∞

　　表明x=-2和x=0为G(x)的两条垂直渐近线

　　由此可以大致判断出G(x)在-2<x<0时的图象呈“W”型（如下图）

　　因方程g[f(x)]-a=0的实数根个数有4个

　　即方程g[f(x)]=a的实数根个数有4个

　　即函数G(x)图象与水平直线y=a有4个交点

　　根据上述G(x)的图象分析易知1≤a<5/4

　　注意当a=1时,水平直线y=a与“W”和“八”型图象各有两个交点