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  【只是其中有1步不明白,请指出我疑点的错处和正确的方法【题目】点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:(x^2/a^2)+y^2=1(a>1)的左右焦点,P为椭圆C上任意点,且向量PF1×向量PF2的最小值为0,求椭圆的标准方程】

  只是其中有1步不明白,请指出我疑点的错处和正确的方法

  【题目】点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:(x^2/a^2)+y^2=1(a>1)的左右焦点,

  P为椭圆C上任意点,且向量PF1×向量PF2的最小值为0,求椭圆的标准方程

  用参数方程】由椭圆的参数方程x=acos(θ),y=bsin(θ),设P坐标(acosθ,sinθ)

  ∴向量PF1×向量PF2=(acosθ+c,sinθ)(acosθ-c,sinθ)=(a^2-1)(cosθ)^2-c^2+1.①

  ∵[向量PF1×向量PF2]的最小值=1-c^2=0(∵cosθ=0,即θ=90度时是①式的最小值)

  得:c=1

  ∴椭圆的方程为:(x^2/a^2)+y^2=1

  用直角坐标】设P(x,y),则:

  向量PF1×向量PF2=(x+c,y)(x-c,y)=x^2+y^2-c^2=0...①

  又∵P点在椭圆C上,符合:(x^2/a^2)+y^2=1...②;且a^2=c^2+b^2=c^2+1...③

  联立①、②、③得P点(向量积为零时)x坐标满足:[(a^2-1)/a^2]×x^2+1-c^2=0...④

  ∵[向量PF1×向量PF2]的最小值=0...⑤

  ∴1-c^2=0.⑥【我就是这一步不明白】

  【老师给我的解释是】

  ④式中的(1+c^2)是开口向上的抛物线的顶点的纵坐标,【这步我明】

  ∵[向量PF1×向量PF2]的最小值=0,所以就有:1-c^2=0

  【我的疑问】

  (1)由⑤到⑥的依据是什么?

  (2)若按老师的解释:"P点(向量积为零时)y坐标=0",那P不就是在x轴上了?这情况明显不对(理由1:这2个向量的模不为零;理由2,向量积=0意味着这2个向量垂直,但若P在x轴上,则意味着这2向量平行).【我这思路错在哪里?】

  虽然由【答案一】我知道答案二的结果是正确的,但我想搞明白答案二的每一步!

  所以,我的问题是:

  (1)“我的疑问1”:由⑤到⑥的依据是什么?

  (2)“我的疑问2”:我的思路错在哪里?

  由于你的指点,我得到了启发.

  【问题补充】

  【误区】抛物线(④式)的最低点与向量积的最小值(⑤式),从错误的方向联系起来

  1、向量积的最小值与顶点没有(直接或称简单)联系;

  2、当1-c^2=0时,该抛物线的顶点为(0,0),明显不是P点坐标.

  【我认为正确的理解如下,】

  设P(x,y),设d=向量PF1×向量PF2=(x+c,y)(x-c,y)=x^2+y^2-c^2...①

  ∵c是常数,∴(x^2+y^2)取最小值时所的d,就是d的最小值

  ∵P在椭圆上,∴y^2=1-[x^2/a^2]...②

  ②代入①并整理后:d=[(a^2-1)/a^2]×x^2+1-c^2...④

  ∵x∈[-a,a],a>1

  从④可见,当x=0时,d是最小值,又∵已知d的最小值=0

  ∴d的最小值=1-c^2=0

  ∴c^2=1,a^2=b^2+c^2=1+1=2

  ∴椭圆的方程为:(x^2/2)+y^2=1

7回答
2020-04-30 09:43
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李峰泉

  第5步:[(a^2-1)/a^2]x^2+1-c^2的最小值为0

  而该抛物线因a>b=1则开口向上,对称轴为x=0,

  所以顶点就是1-c^2就是它的最小值,也就是0.

  所以1-c^2=0,得到c=1,又b=1,那么a=√2

  标准方程:x^2/2+y^2=1.

2020-04-30 09:48:03
马友来

  "对称轴为x=0,所以顶点就是1-c^2就是它的最小值,也就是0."

2020-04-30 09:50:00
李峰泉

  不是,这是个比较特殊的抛物线而已,刚好对称轴为y轴,此时p点也不在原点,而是(0,1)

2020-04-30 09:54:53
马友来

  抛物线y=[(a^2-1)/a^2]x^2+1-c^2的顶点坐标是(0,1-c^2),若1-c^2=0,则顶点就是(0,0),怎么会是(0,1)呢。可否详细说明一下,包括"这是个比较特殊的抛物线"是如何特殊(再特殊,也不会与基本的"顶点式"的顶点相矛盾吧)。不论结果如何,在此先感谢你的耐心和追踪(回复)。十分感谢!

2020-04-30 09:56:27
马友来

  哦哦,我没有表述清楚,(0,1)是p点坐标,p在椭圆上,当然不是原点,这是回答上一个追问。而题目告诉是两个向量数量积的最小值为0.你只需要表示出这个数量积的形式,当然你已经做到这一步了,就是(5)。这是关于x的一元二次方程,它的最低点只与c有关,而且告诉最低点值为0.于是根据这个条件求出c。当然这道题是有更一般的规律的:pf1向量与pf2向量的数量积可以表示为:|PF1|*|PF2|cosa其中a为两个向量的夹角,利用余弦公式上式化为:[|PF1|^2+|PF2|^2-(2C)^2]/2这个式子取最小值利用一下均值不等式就知道。p点一定在F1和F2中垂线上,也就得到P(0,1)于是纯粹的利用平面几何也可以解决这个问题,此时最小值为0,就是|PF|^2-2C^2=0,又PF^2=b^2+c^2得到b=c=1.一样得到正确结果。综上椭圆上动点到两个焦点的向量的数量积取最小值时,p一定在(0,b)这一点!

2020-04-30 10:00:29
马友来

  由于你的指点,我得到了启发。【这里有字数限制,我写在“问题补充”】我新的理解,对吗?

2020-04-30 10:04:15
李峰泉

  恩,这样理解是对滴。

2020-04-30 10:07:14

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