由于,柱面的准线为x=2z,x=y*y+z*z.(将原题中的X=2z改写为:x=2z)

　　而x=2z为一平面.故它就是准线所在平面.即所求柱面的母线垂直于此平面.

　　此平面(x=2z)的法向量为n=(1,0,-2),此即为所求柱面的准线的方向向量.

　　设:M(x,y,z)为准线上的任意一点,则过该点的母线方程为:

　　(X-x)/1=(Y-y)/0=(Z-z)/(-2)其中P(X,Y,Z)为母线上点坐标.而(Y-y)/0系指Y-y=0.

　　上式即:Z-z=-2X+2x,Y=y.

　　以下是要由上式和原准线方程x=2z,x=y*y+z*z从中消去x,y,z而得出关于(X,Y,Z)的方程,即所求柱面的方程.

　　Z-z=-2X+2x,(1)

　　Y=y.(2)

　　x=2z,(3)

　　x=y*y+z*z..即2z=y^2+z^(4)

　　由(3),(1)变为:5z=Z+2X,(5)

　　由(3),(4)变为:2z=y^2+z^2(6)

　　将:(2),(5)代入(6)得:(2/5)(Z+2X)=Y^2+(1/25)*(Z+2X)^2

　　整理得:10*(Z+2X)=25*Y^2+(Z+2X)^2.

　　即为所求.