对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1
对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6,集合{5}的交替和为5.当集合N中的n=2时,集合N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4,则当时n=3,S3=_____；根据S1、S2、S3,猜想集合N={1,2,3,……n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=__________.
S2=4,S3=12,S4=32
Sn=n*2^(n-1)
能给出证明吗
n=1时,显然成立
设Sn=n*2^(n-1)时成立
当取n+1时,所有集合包括三种
1、n时的所有集合,Sn1=Sn
2、n时的所有集合每一个里面增加一个（n+1）,一共2^n-1个,Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn
3、集合{n+1},Sn3=n+1
Sn+1=Sn1+Sn2+Sn3
=Sn+2^（n-1）*（n+1）-Sn+n+1
=（2^n-1）*（n+1）+n+1
=2^n（n+1）
得证
2、n时的所有集合每一个里面增加一个（n+1），一共2^n-1个，Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn
"一共2^n-1个"，Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn
什么意思
我以n=2、3为例说明一下Sn和S（n+1）之间的推导关系
首先，要知道元素个数为n的集合的非空子集个数为2^n-1个，这是一个基本知识点。
以n=2为例，其非空子集个数为2^2-1个3个
即{1}，{2}，{1,2}
当n=3时，其非空子集包括三个类型
1、n=2的子集{1}，{2}，{1,2}，其“交替和”Sn与n=2时的Sn一样
2、n=2的子集中加上3，{1，3}，{2，3}，{1,2，3}，其“交替和”Sn=3*3-n=2时的Sn，因为每个子集中的元素1、2位置都向后挪了一个位置，所以其符号都变了，比如{1、2}的Sn是2-1，当增加一个元素3，{1,2，3}的Sn是3-2+1=3-（2-1）.也就是说每个含有3的集合的Sn=3-（不含有3的Sn）.
这步是关键，也是难点所在。文字说明不容易，希望你能体会其中奥妙
3、{3}，Sn=3