维恩图：用于显示元素间的重迭关系.

　　摩根定律：

　　所谓加法关系a+b中的素数分布问题,是指,任意充分大的正整数M表为两个正整数之和时,其表为两个奇素数之和的个数问题.由于当x→∞时,加法关系只能赋予∞+∞=2∞之极限.所以,研究加法关系a+b中的素数分布问题,只能在区间(0,2∞)之间进行.则有：

　　2∞=1+(2∞-1)=2+(2∞-2)=...=∞+∞显然,在加法关系a+b中,当a→∞时,则b只能以超越自然数的∞+1、∞+2、...、∞+n、...等共尾序数的形式表之.所以,在加法关系a+b中,其基数已超出了自然数集N的基数.归纳给定了的M之加法关系a+b中的元素为集合G,与自然数集N一样,集合G中的元素,具有①传递性.②三岐性.③对于每一元素a+b,只要它位于区间(1,∞)之内,它就一定是一后继数.④良基性.所以,加法关系a+b是符合外延公理及正则公理,因为在无穷集合G的元素中的b之值,本来就是自然数的延伸而已.

　　对无穷集合G进行良序化,应用埃拉托色尼筛法显然是不行的.因为埃拉托色尼筛法只是针对自然数列而为,其p=x-H只适用于所考察的元素只具一个自然数之性质.在自然数列中,筛掉任何一个自然数,并不会影响其它自然数的存在.但是,在加法关系a+b中则不然,因为集合G中的元素是由两个自然数之和所组成,筛掉任何一个自然数,势必会影响另一个自然数的存在与否.由量变到质变,在自然数列中所得到的规律并不适宜应用于加法关系a+b中.

　　考察加法关系a+b中两个正整数之和的有关素数或合数的性质,有：素数加素数、素数加合数、合数加合数这三大类情况(此处将与1相加之情况排除在外).所以,在集合G中,根据完备性原则,有：

　　素数加素数=G-素数加合数-合数加合数用符号表之,有

　　p(1,1)=G-{(p,H)+H(1,1)}此式即是集合论中著名的摩根定律：A~∩B~=(A∪B)~应用于加法关系a+b中的素数分布问题的求解方法.

　　因为在加法关系a+b中,设M为所取之值,则集合G中有元素M=1+(M-1)=2+(M-2)=...=M/2+M/2共有M/2个.将摩根定律应用于加法关系a+b中：设在区间(1,M/2]中,凡具有合数性质的元素a+b被归纳为集合A；再设在区间[M/2,M)中,凡具有合数性质的a+b被归纳为集合B；则有A∪B=(p,H)+H(1,1)以及

　　(A∪B)~=G-(p,H)-H(1,1)而集合A的补集A~为区间(1,M/2]中,凡具有素数性质的元素之集合；集合B的补集B~为区间[M/2,M)中,凡具有素数性质的元素之集合.所以,有A~∩B~=p(1,1)

　　综合以上所述,有

　　A~∩B~=p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)=(A∪B)~摩根定律所讲述的就是区域内具有两个以上集合时的完备性问题,对于加法关系a+b而言,由于元素只是两个自然数之和,所以并不需要拓展摩根定律,用最简单的形式：A~∩B~=(A∪B)~,就可以了.

　　既然是加法关系,也就必须应用加法环中的公式.当设定M为所取之值时,根据唯一分解定理：

　　M=(p_i)^α*(p_j)^β*...*(p_k)^γ有

　　M=np=(n-m)p+mp从此公式中可知,凡是具有M的素约数的合数,总是与另一具有M的素约数的合数相加于同一元素之中.由唯一分解定理所确定的a+b,我们将其谓之为特征值.由于p的倍数总是在同一元素中相加,所以,每隔p之值,就会出现一个p的倍数相加之元素.故在M=a+b中,特征值p的倍数有出现概率1/p,则与之互素的元素有出现概率为(1-1/p).

　　另外,根据剩余类环

　　M=nq+r=(n-m)q+mq+r之公式中可知,凡不是M的素约数的素数q的倍数,总是不能与具有素约数q的合数相加在同一元素之中,r是它们相差之位.为区别于特征值,我们根据其由剩余类环而求得的,将其谓之为剩余值.由于r＜q,所以,每隔q之值,会出现两个具有素约数q的元素,一个在a中,一个在b中.故在M=a+b中,剩余值q的倍数有出现概率2/q,则与之互素的元素有出现概率为(1-2/q).

　　对于与特征值p互素的系数(1-1/p),由欧拉函数ψ(N)中可知,特征值p中的系数是可积函数：M/2{∏p|M}(1-1/p).那么,对于剩余值q的系数是否也是可积函数?由于与剩余值互素的系数(1-2/q),以前并无人涉及,是鄙人之首创,故必须对其是否为可积函数的性质作些论证.

　　设N=nq+r=(n-m)q+mq+r,化mq+r成为p的倍数,即mq+r=kp,可知,“q不能整除kp,那么,(q-1)个数：p、2p、...、(q-1)p分别同余1到q-1,并且对模q互不同余：{k_1}p≠{k_2}p(modq)”(费马小定理).由于k＜q,因此,在M=a+b中与q的倍数相加于同一元素中的p之倍数,起始于M=(n-m)q+kp,不断地加减pq,则有M=(n-m-ip)q+(k+iq)p；1≤i≤M/pq乃是每隔pq之数值而出现一次.

　　因此,在M=a+b中,q的倍数与p互素不仅须对(n-m)q自身中具p之素因数的元素进行筛除,而且还须对与之构成元素对mq+r=kp的合数中具p之素因数的合数进行筛除.因此在M=a+b中,由q之倍数而构成的元素a+b中,与p互素的个数是M/q(1-2/p).

　　在M=a+b中,如果p⊥M,q⊥M(其中,符号⊥表示不整除),则与p,q互素的元素a+b分别有：M/2(1-2/p),M/2(1-2/q),而与p,q互素的元素a+b在总体上有：

　　M/2(1-2/p)-M/q(1-2/p)=(M/2-M/q)(1-2/p)=M/2(1-2/p)(1-2/q)可知,在M=a+b中,对于剩余值的系数也是可积函数.换言之,在M=a+b中,与不大于√M的素数互素的系数,用逐步淘汰原则进行计算,不管是特征值抑或是剩余值,均是可积函数.

　　通过分析,获知在M=a+b中,无论是特征值或非特征值,都是可积函数.因此在M=a+b中,与小于√M的素数互素的个数有：

　　P(1,1)=M/2{∏p|M}(1-1/p){∏p⊥M}(1-2/p)此公式就是加法关系a+b中的一般之解.从公式的系数中可以清晰地看到摩根定律所起的作用：用不大于√M的素数作筛子,对于是M的素约数的素数之倍数,筛除的系数是(1-1/p);对于非M的素约数的素数之倍数,筛除的系数是(1-2/p).

　　当M为奇数时,由于素数2不是特征值,从剩余值的系数中可知,因存在着零因子：(1-2/2)=0,所以当M为奇数时表为两个奇素数之和的个数为零.

　　由此可知,在加法关系a+b中,欲求p(1,1)的个数,M之值必须是偶数,即素数2必须是特征值,才能获得p(1,1)之个数.从(1-1/p)＞(