一元运算和二元运算

　　一.一元运算和二元运算

　　定义10.1设S是集合,函数f:S→S称为S上的一个一元运算.

　　例10.1(1)求数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.

　　(2)求数的倒数是非零有理数集和非零实数集上的一元运算.

　　(3)求复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算.

　　(4)在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算.

　　(5)设集合S上所有双射函数组成的集合为,则求双射函数的反函数是A上的一元运算.

　　(6)在n(n≥2)阶实数集合(R)上,求矩阵的转置矩阵是(R)上的一元运算.

　　注:验证S上一种运算是否为一元运算主要应检验两点:

　　(1)S中任何元素都能进行这种运算,且运算结果是唯一的.

　　(2)S中任何元素进行运算的结果都仍在S中,即S对运算是封闭的.

　　定义10.2设S是集合,函数f:SⅩS→S称为S上的二元运算.

　　注:验证S上一种运算是否为二元运算也主要检验两点:

　　(1)S中任二元素都可进行这种运算,且运算结果是唯一的.

　　(2)S中任二元素运算的结果都仍在S中(运算具有封闭性).

　　例10.2(1)自然数集合N上的加法和乘法都是N上的二元运算,但减法和除法不是.

　　(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,但除法不是.

　　(3)实数域R和有理数域Q上的加法、减法、乘法都是二元运算,但除法不是;非零实数域和非零有理数域上的乘法和除法都是二元运算,但加法和减法不是.

　　(4)在所有n阶实矩阵(n≥2)形成的集合Mn(R)上,矩阵的加法和乘法都是二元运算.

　　(5)S为任意集合,则∪,∩,－,⊕为S的幂集P(S)上的二元运算.

　　(6)S为集合,S上所有函数形成的集合为.则函数的复合运算⌈是上的二元运算.

　　注:通常用符号*,,·,…,等来表示运算,称为运算符.

　　例10.3设有实数域R上的二元运算:∀x,y∈R,x*y=x,计算

　　解:

　　有限集合S上的一元和二元运算除了使用函数表达式给出外,也可以用运算表给出;运算表的一般格式为:

　　例10.4设S={1,2},给出P(S)上的补运算～和对称差运算⊕的运算表,其中全集为S.

　　解:所求运算表如下:

　　例10.5设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下:xy=(xy)（mod5）,(∀x,y∈S)

　　求运算的运算表.

　　解:所求运算表如下:

　　二.二元运算的单位元、零元和元素的逆元

　　定义10.3设为集合S上的二元运算.

　　(1)若∃∈S(或∃∈S),使得对∀x∈S都有

　　x=x(或x=x)

　　则称是S中关于运算⌈的左单位元(称为S中关于运算⌈的右单位元).

　　如果e∈S关于运算⌈既是左单位元又是右单位元,则称为单位元或幺元.

　　(2)若∃θl∈S(或∃θr∈S),使得对∀x∈S都有

　　θlx=θl(或xθr=θr)

　　则称θl是S中关于运算的左零元(称θr是S中关于运算的右零元).若θ∈S关于运算既是左零元又是右零元,则称它是S中关于运算的零元.

　　(3)设e∈S是运算的单位元,x∈S.若$∈S(或$∈S),使得

　　ix=e(或x=e)

　　则称是在运算下元素x的左逆元(称是在运算下元素x的右逆元).

　　若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元,则称y是x在运算下的逆元.存在逆元的元素称为可逆的.

　　注1

　　♥在数集N,Z,Q,R上,0是加法的单位元,1是乘法的单位元；

　　♥在n阶实矩阵集合Mn(R)上,全0的n阶矩阵是矩阵加法的单位元,n阶单位矩阵是矩阵乘法的单位元；

　　♥在幂集P(S)上,F是∪运算的单位元,全集S是∩运算的单位元,F也是对称差运算⊕的单位元；

　　♥在上,恒等矩阵IA是函数复合运算的单位元.

　　注2

　　♥在数集N,Z,Q,R上,加法没有零元,0是乘法的零元；

　　♥在Mn(R)上,矩阵加法没有零元,全0的n阶矩阵是矩阵乘法的零元;

　　♥在P(S)上,全集S是∪运算的零元,F是∩运算的零元,⊕没有零元；

　　注3

　　♥在自然数集N上,只有0有加法逆元,就是它自己；

　　♥在数集Z,Q,R上,每个数字x关于加法运算都有逆元,即它的相反数–x;

　　♥在数集Q,R上,每个非零数字x关于乘法运算都有逆元,即它的倒数；

　　♥在集合Mn(R)上,每个n阶实矩阵M关于矩阵加法都有逆元–M;每个n阶实可逆矩阵M关于矩阵乘法都有逆元;

　　♥在P(S)上,关于并运算∪,只有F有逆元,就是它自己；

　　关于交运算∩,只有全集S有逆元,就是它自己.

　　定理10.1(1)设为S上的二元运算.如果在S中关于该运算既存在左单元又存在右单元,则必存在单位元e,且==e.

　　(2)S上关于运算的单位元是唯一的.

　　证:(1)因是右单位元,故=;

　　又因是左单位元,故=.从而=.

　　令e==,易见e是单位元.

　　(2)设e和e'都是S中关于运算的单位元,则

　　e=ee'=e'

　　可见,单位元是唯一的.

　　定理10.2(1)设为S上的二元运算.如果在S中关于该运算既有左零元θl又有右零元θr,则必存在零元θ,且θl=θr=θ.

　　(2)S上关于运算的零元是唯一的.

　　证明与上一定理类似,留作练习.

　　定理10.3设为S上的二元运算,e和θ分别为该运算的单位元和零元.如果S至少有两个元素,则e≠q.

　　证：用反证法.假设e=θ,则对∀x∈S,有x=xe=xθ=θ.这与S中

　　至少有两个元素矛盾.