这个题用不到太特别的数学符号,所以我就不用公式编辑器了.

　　概念清楚的话,题目其实不难.

　　一个有1的交换环是Noether环当且仅当其中任意理想都是有限生成的.

　　而整数环Z是主理想环,即其中每一个理想都可由一个元素生成.

　　因此Z是Noether环.

　　补充一下Z是主理想环的证明.

　　设I是Z的一个理想.

　　若I={0},则I可由0生成.

　　若I≠{0},即I中有非零元素,考虑I中非零元素的绝对值集合.

　　其为自然数集的非空子集,因此存在最小值,可设a是I中绝对值最小的非零元素.

　　对任意b∈I,由带余除法,存在整数q,r满足0≤r