p为椭圆C：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)-查字典问答网

来自李德英的问题

　　p为椭圆C：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)上一点,A、B为圆O：x^2+y^2=b^2上的两个不同的点,直线AB分别交x轴y轴于M、N两点且向量PA*OA=O,向量PB*OB=O,O为坐标原点.1）若椭圆的准线为+-25/3,并且a^2/|OM|^2+b^2/|ON|^2=25

　　p为椭圆C：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)上一点,A、B为圆O：x^2+y^2=b^2上的两个不同的点,直线AB分别交x轴y轴于M、N两点且向量PA*OA=O,向量PB*OB=O,O为坐标原点.1）若椭圆的准线为+-25/3,并且a^2/|OM|^2+b^2/|ON|^2=25/16,求椭圆C的方程.2）椭圆C上是否存在满足向量PA*PB=0的点?若存在,求出存在时a、b满足的条件,若不存在,请说明理由.

1回答

2020-05-01 00:07

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刘涛

　　（1）由准线公式：x=±（a^2/c)可求出a=5,c=3,所以b=4,所以椭圆方程为：y^2/25+x^2/16=1

　　（2）设存在P（x0,y0）满足条件,则当且仅当OBPA为正方形时成立（向量相乘为0,表示两个向量互相垂直）

　　所以ABS（OP）=SQR（2）×b即：x0^2+y0^2=2b^2……式1

　　又因为y0^2/a^2+x0^2/b^2=1……式2（a大于b大于0）

　　解1、2式得x^2=(b^2(a^2-2b^2))/(a^2-b^2)

　　y^2=(a^2×b^2)/(a^2-b^2)

　　所以：当a^2-2b^2大于0即a＞SQR（2）×b＞0时,存在P点满足向量PA*PB=0

　　当0

2020-05-01 00:11:10

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