我们更习惯用a,b,c来表示三角形三条边,A,B,C表示三角形的三个内角

　　设费马点P,分情况讨论:

　　1.A≥120度时,P=A,PA+PB+PC=AB+AC=b+c

　　2.B≥120度时,P=B,PA+PB+PC=AB+BC=a+c

　　3.C≥120度时,P=C,PA+PB+PC=BC+AC=a+b

　　4.A,B,C均小于120度时

　　设PA=x,PB=y,PC=z,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度

　　那么由余弦定理

　　x^2+y^2+xy=c^2

　　y^2+z^2+yz=a^2

　　z^2+x^2+xz=b^2

　　三式相加

　　(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+3(xy+yz+zx))/2.(1)

　　由正弦定理

　　√3xy/4=S⊿PAB

　　√3yz/4=S⊿PBC

　　√3zx/4=S⊿PAC

　　三式相加

　　xy+yz+zx=4S⊿ABC/√3...(2)

　　由海伦公式

　　S⊿ABC=√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/4...(3)

　　由(1),(2),(3),解得

　　PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}

　　这就是要求的表达式