这题很有爱哟.

　　就几何意义来说的话,定积分可以看作是第一类曲线弧长积分的特例.

　　定积分只能求得在二维上直线围起的平面的面积,仅限于平面的,与z轴垂直

　　但是扩增到三维上的话,用弧长积分求出的面积可以是弯曲的,当然也可以是平面(所以说定积分是弧长积分的特例),看以下例子：

　　求由x=0、x=3和y=x^2围起的平面面积S?

　　定积分：S=∫(0,3)x^2dx=(1/3)[(x^3)：(0,3)]=(1/3)*27=9

　　弧长积分：以直线L：y=0为底长,高为y=x^2的面积,ds=√[1+(dy/dx)^2]dx=dx

　　S=∫Lx^2ds=∫(0,3)x^2dx=(1/3)[(x^3)：(0,3)]=9

　　曲面积分是建基于曲面方程：

　　所以两类的曲面积分都与曲面方程有关

　　唯一不同的就是曲面方程可以直接代入被积函数中,这是重积分所不能够的.

　　而面积的微元dS,化为二重积分时,其值：

　　在yoz面上,dS=√[1+(x'y)^2+(x'z)^2]dydz

　　在zox面上,dS=√[1+(y'z)^2+(y'x)^2]dzdx

　　在xoy面上,dS=√[1+(z'x)^2+(z'y)^2]dxdy

　　例如对于曲面方程Σ：z=z(x,y)

　　∫∫Σf(x,y,z)dS=∫∫Df[x,y,z(x,y)]√[1+(z'x)^2+(z'y)^2]dxdy

　　第二类曲面积分还要注意曲面的方向,有正有负

　　第二类曲面坐标积分化为二重积分时只需向对应的坐标轴平面投影

　　dydz向yoz面投影,前侧取正号,后侧取负号,把相应的曲面方程x=x(y,z)代入x中

　　∫∫Σf(x,y,z)dydz=±∫∫Df[x(y,z),y,z]dydz

　　dzdx向zox面投影,右侧取正号,左侧取负号,把相应的曲面方程y=y(x,z)代入y中

　　∫∫Σf(x,y,z)dzdx=±∫∫Df[x,y(x,z),z]dzdx

　　dxdy向xoy面投影,上侧取正号,下侧取负号,把相应的曲面方程z=z(x,y)代入z中

　　∫∫Σf(x,y,z)dxdy=±∫∫Df[x,y,z(x,y)]dxdy

　　于是化为二重积分后,对曲面方程Σ的曲面积分便会变为对平面D上的二重积分.

　　通常第二类曲面积分比第一类曲面积分容易求得,尤其是只须向一个面投影的时候.

　　第二类曲面积分有许多种算法：

　　首先是两类积分之间的转换：

　　∫∫ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

　　其中cosα、cosβ、cosγ分别是三个坐标面的方向余弦.这方法的难度颇大哟

　　cosα=1/√[1+(x'y)^2+(x'z)^2],cosβ=1/√[1+(y'z)^2+(y'x)^2],cosγ=1/√[1+(z'x)^2+(z'y)^2]

　　之后就是针对第二类曲面积分的高斯公式：若Σ是立体的边界曲面所围成的闭合曲面,取外侧

　　∮∮ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫Ω(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)dxdydz,跟格林公式的原理一样.

　　在计算上,往往通过补缺平面来使曲面变为闭合曲面,取外侧,然后用高斯公式

　　若空间里有奇点存在,可以在里面补上一个足够小的立体,取内测,然后用公式

　　然后也是针对第二类曲面积分的方法,向量点积法：只需向一个面作投影

　　∫∫∫ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=±∫∫D[-P•∂z/∂x-Q•∂z/∂y+R]dxdy,上侧取正号,下侧取负号

　　其余两个也同样道理.

　　第一类曲面积分可以运用对称性化简：

　　在xoy面上,若曲面方程Σ关于z=0对称

　　则∫∫Σf(x,y,z)dS={0,f(x,y,z)关于z为奇函数.

　　{2∫∫Σ1f(x,y,z)dS,f(x,y,z)关于z为偶函数,Σ1是Σ的上半部分.

　　若Σ是关于三个坐标面都对称,而f(x,y,z)关于x,y,z均为偶函数

　　有∫∫Σf(x,y,z)dS=8∫∫Σ1f(x,y,z)dS,Σ1是Σ在第一挂限的部分(指(x,y,z)≥0)

　　若闭合曲面Σ：F(x,y,z)=0,关于x,y,z有轮换对称性(对换任意两个变量都不改变方程)

　　有∫∫Σf(x)dS=∫∫Σf(y)dS=∫∫Σf(z)dS

　　==>∮∮Σ[f(x)+f(y)+f(z)]dS=3∮∮Σf(x)dS

　　Note：第二类曲线/曲面积分不宜直接运用对称性：

　　因为它们都是具有方向的,等到化为重积分或第一类曲线/曲面积分后才好运用对称性来化简.