设是任何维的一般旋转矩阵:两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵:这里的是单位矩阵.一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一.正交矩阵的行列式是±1；如果行列式是1,则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵.旋转矩阵是正交矩阵,如果它的列向量形成的一个正交基,就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量).任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵A的指数:这里的指数是以泰勒级数定义的而是以矩阵乘法定义的.A矩阵叫做旋转的“生成元”.旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数,它就是斜对称矩阵的代数.生成元可以通过M的矩阵对数来找到.编辑本段二维空间在二维空间中,旋转可以用一个单一的角θ定义.作为约定,正角表示逆时针旋转.把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转θ的矩阵是:cosθ-sinθsinθcosθ编辑本段三维空间在三维空间中,旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值.旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理).如果旋转角是θ,则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是exp(iθ)和exp(-iθ).从而得出3维旋转的迹数等于1+2cos(θ),这可用来快速的计算任何3维旋转的旋转角.3维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵.因为只需要三个实数来指定3维斜对称矩阵,得出只用三个是实数就可以指定一个3维旋转矩阵.生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合.关于右手笛卡尔坐标系的x-,y-和z-轴的旋转分别叫做roll,pitch和yaw旋转.因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转,它们的生成元很容易表达.绕x-轴的旋转定义为:这里的θx是roll角.绕y-轴的旋转定义为:这里的θy是pitch角.绕z-轴的旋转定义为:这里的θz是yaw角.在飞行动力学中,roll,pitch和yaw角通常分别采用符号γ,α,和β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号θx,θy和θz.任何3维旋转矩阵都可以用这三个角θx,θy,和θz来刻画,并且可以表示为roll,pitch和yaw矩阵的乘积.是在中的旋转矩阵在中所有旋转的集合,加上复合运算形成了旋转群SO(3).这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示.更高维的情况可参见Givens旋转.角-轴表示和四元数表示在三维中,旋转可以通过单一的旋转角θ和所围绕的单位向量方向来定义.这个旋转可以简单的以生成元来表达:在运算于向量r上的时候,这等价于Rodrigues旋转公式：角-轴表示密切关联于四元数表示.依据轴和角,四元数可以给出为正规化四元数Q:这里的i,j和k是Q的三个虚部.欧拉角表示在三维空间中,旋转可以通过三个欧拉角(α,β,γ)来定义.有一些可能的欧拉角定义,每个都可以依据roll,pitch和yaw的复合来表达.依据"z-x-z"欧拉角,在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:进行乘法运算生成:因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转,它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来.对称保持SVD表示对旋转轴q和旋转角θ,旋转矩阵这里的的纵列张开正交于q的空间而G是θ度Givens旋转