这个真的很繁琐.

　　就算三维的吧.

　　设矢量坐标表示为

　　a=(a1,a2,a3)

　　b=(b1,b2,b3)

　　c=(c1,c2,c3)

　　单位矢量分别为i,j,k

　　b×c=

　　|ijk|

　　|b1b2b3|

　　|c1c2c3|

　　=(b2c3-b3c2)i-(b1c3-b3c1)j+(b1c2-b2c1)k

　　a×(b×c)=

　　|ijk|

　　|a1a2a3|

　　|b2c3-b3c2-b1c3+b3c1b1c2-b2c1|

　　三个方向分开来看

　　i的系数=a2b1c2-a2b2c1+a3b1c3-a3b3c1

　　=(a2b1c2+a3b1c3+a1b1c1)-(a2b2c1+a3b3c1+a1b1c1)

　　=b1*(a1c1+a2c2+a3c3)-c1*(a1b1+a2b2+a3b3)

　　j的系数=-a1b1c2+a1b2c1+a3b2c3-a3b3c2

　　=(a1b2c1+a3b2c3+a2b2c2)-(a1b1c2+a3b3c2+a2b2c2)

　　=b2*(a1c1+a2c2+a3c3)-c2*(a1b1+a2b2+a3b3)

　　k的系数=-a1b1c3+a1b3c1-a2b2c3+a2b3c2

　　=(a1b3c1+a2b3c2+a3b3c3)-(a1b1c3+a2b2c3+a3b3c3)

　　=b3*(a1c1+a2c2+a3c3)-c3*(a1b1+a2b2+a3b3)

　　令(a1c1+a2c2+a3c3)=a.c=m

　　(a1b1+a2b2+a3b3)=a.b=n

　　a×(b×c)

　　=(m*b1-n*c1,m*b2-n*c2,m*b3-n*c3)

　　=m(b1,b2,b3)-n(c1,c2,c3)

　　=(a.c)b-(a.b)c

　　三维坐标证明完毕.

　　n维坐标证明类似,关键是在于类似三维坐标中的

　　+a1b1c1-a1b1c1然后向结果化.