椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．

　　(1)求椭圆的标准方程；

　　(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

　　（1）；（2）证明详见解析，.

　　试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0)，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到 或m=－2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.

　　试题解析：（1）由题： ①

　　左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为：② 2分

　　由①②可解得c="1"，a="2"，b2=a2－c2=3． 3分

　　∴所求椭圆C的方程为． 4分

　　（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，将y="kx"+m代入椭圆方程得

　　(4k2+3)x2+8kmx+4m2－12=0．

　　∴，， 6分

　　且y1=kx1+m，y2=kx2+m．

　　∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0)，所以． 7分

　　所以(x1－2,y1)·(x2－2,y2)=(x1－2)(x2－2)+y1y2=(x1－2)(x2－2)+(kx1+m)(kx2+m)

　　=(k2+1)x1x2+(km－2)(x1+x2)+m2+4

　　=(k2+1)·－(km－2)·+m2+4="0"． 10分

　　整理得7m2+16km+4k2=0．∴ 或m=－2k都满足△>0． 12分

　　若m=－2k时，直线l为y=kx－2k="k"(x－2)，恒过定点A2(2,0)，不合题意舍去； 13分

　　若时，直线l为，恒过定点 ． 14分