设矩阵B与AB=0右端的零矩阵的列分块分别为

　　B=（β1β2…βn）,0=（00…0）,

　　由分块矩阵乘法,

　　A（β1β2…βn）=（00…0）,（Aβ1Aβ2…Aβn）=（00…0）

　　即β1β2…βn（Ⅰ）是齐次方程组AX=0解向量组

　　若r（A）=n,则AX=0只有零解,B=0,r（B）=0=n-r（A）；

　　若r（A）=r＜n,X1,X2,…,X（n-r）（Ⅱ）是AX=0的一个基础解系,则（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出,

　　r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）.而r（Ⅰ）=B的列秩=r（B）,秩（Ⅱ）=n-r（A）.

　　综上,r(A)+r(B)≤n

　　得证