来自施壮的问题
求下列圆锥曲线的标准方程(1)以双曲线的顶点为焦点,离心率e=的椭圆(2)准线为,且a+c=5的双曲线(3)焦点在y轴上,焦点到原点的距离为2的抛物线.
求下列圆锥曲线的标准方程
(1)以双曲线的顶点为焦点,离心率e=的椭圆
(2)准线为,且a+c=5的双曲线
(3)焦点在y轴上,焦点到原点的距离为2的抛物线.
1回答
2020-04-30 22:41
求下列圆锥曲线的标准方程(1)以双曲线的顶点为焦点,离心率e=的椭圆(2)准线为,且a+c=5的双曲线(3)焦点在y轴上,焦点到原点的距离为2的抛物线.
求下列圆锥曲线的标准方程
(1)以双曲线的顶点为焦点,离心率e=的椭圆
(2)准线为,且a+c=5的双曲线
(3)焦点在y轴上,焦点到原点的距离为2的抛物线.
分析:
(1)设椭圆方程为(a>b>0),根据题意得c=.再由椭圆的离心率算出a=2,从而得b2=a2-c2=2,得到所求椭圆的方程;(2)根据双曲线的准线方程,可得.结合a+c=5解之得a=2且c=3,从而算出b2=c2-a2=5,由此即可得到所求双曲线的方程;(3)根据题意设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),结合题意建立关于p的方程,解出p=4,从而得到所求抛物线的标准方程.
(1)∵双曲线的顶点坐标为(0,),∴所求椭圆的焦点为(0,),可得c=…2分又∵椭圆的离心率,可得a==2,b2=a2-c2=2…3分∴所求椭圆方程为;…4分(2)∵双曲线的准线方程为,∴,结合a+c=5解得a=2,c=3∴b2=c2-a2=5 …(2分)∴所求双曲线方程为…(4分)(3)根据题意,设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py(p>0)∵抛物线的焦点坐标为(0,±2),∴=2,可得p=4…(2分)∴所求抛物线方程为x2=8y或x2=-8y…(4分)
点评:
本题给出圆锥曲线满足的条件,求它们的标准方程.着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.