线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题a+ba0...00b-查字典问答网

来自傅振宪的问题

　　线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题a+ba0...00ba+ba...000ba+b...00..................000...a+ba000...ba+b证明上面的这个行列式等于【a

　　线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题

　　a+ba0...00

　　ba+ba...00

　　0ba+b...00

　　..................

　　000...a+ba

　　000...ba+b

　　证明上面的这个行列式等于【a的（n+1）次减去b的（n+1）次】,再除以（a+b）

1回答

2020-05-02 22:06

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史卫亚

　　按照第一行展开,得Dn＝(a+b)×D(n-1)－ab×D(n-2),所以

　　Dn－a×D(n-1)＝b×[D(n-1)－a×D(n-2)]

　　D1＝a+b,D2＝a^2＋b^2＋ab（这里a^2表示a的平方）

　　所以,数列｛Dn－a×D(n-1)｝是一个等比数列,公比是b,首项为D2－a×D1＝b^2

　　所以,Dn－a×D(n-1)＝b^2×b^(n-2)＝b^n

　　同理由Dn＝(a+b)×D(n-1)－ab×D(n-2)得Dn－b×D(n-1)＝a×[D(n-1)－b×D(n-2)].所以,Dn－b×D(n-1)＝a^n

　　由Dn－a×D(n-1)＝b^n,Dn－b×D(n-1)＝a^n得

　　Dn＝[a^(n+1)－b^(n+1)]/(a-b),n≥2

　　D1也满足上式,所以Dn＝[a^(n+1)－b^(n+1)]/(a-b),n＝1,2,……

2020-05-02 22:10:00