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  【设椭圆C1的中心在原点,其右焦点与抛物线C2:y^2=4x的焦点F重合,过F与x轴垂直的直线与C交于A、B两点,与C2交于C、D两点,已知|CD|/|AB|=4/3(I)求椭圆C1的方程(II)过点F的直线L与C1交于M、N两点,与C2交于】

  设椭圆C1的中心在原点,其右焦点与抛物线C2:y^2=4x的焦点F重合,过F与x轴垂直的直线与C交于A、B两点,与C2交于C、D两点,已知|CD|/|AB|=4/3

  (I)求椭圆C1的方程

  (II)过点F的直线L与C1交于M、N两点,与C2交于P、Q两点,若|PQ|/|MN|=5/3,求直线L的方程.

  第一问已做出,椭圆方程是(x^2)/(4)+(y^2)/(3)=1

  椭圆的a=2,b=√3,c=1F坐标是(1,0)

  第二问怎么做.我的想法是设出直线L的方程y=k(x-1),代入到椭圆和抛物线的方程算交点,再用距离公式代入比值是算出斜率.但这样计算量好大.请高手有没有什么简单的算法.谢谢.给个详细过程哈.

6回答
2020-05-02 19:43
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范基礼

  利用弦长公式=√(1+k^2)×√【(x1+x2)^2-4x1x2】算两点的距离.

  可设直线的方程为:x=ky+1,联立y^2=4x,消去参数x得:y^2-4ky-4=0,判别式为:16k^2+16>0,再结合根与系数关系有:|PQ|=√(1+k^2)×√(16k^2+16)=4(k^2+1),同理,联立(x^2)/(4)+(y^2)/(3)=1有:(3k^2+4)y^2+6ky-9=0,判别式为36k^2+36(3k^2+4)>0,同理利用上面的弦长公式,|MN|=[12(k^2+1)]/(3k^2+4)而|PQ|/|MN|=5/3即:4(k^2+1):[12(k^2+1)]/(3k^2+4)=5/3,解得:k=±√3/3又直线过点F(1,0),则其方程为:y=√3x-√3或y=-√3x+√3.

2020-05-02 19:44:01
程文刚

  还有没有更简单的方法啊。这个算法好像也蛮麻烦。

2020-05-02 19:44:46
范基礼

  做解析几何问题,你还想走捷径?运算量大本身就是解析几何的一个特点。

2020-05-02 19:49:29
程文刚

  兄弟,你误会了,我不是想走捷径,而是想多知道一些其它的方法和思路。

2020-05-02 19:51:03
范基礼

  如果有交点的话,想必都要联立方程吧,这是通法啊。其它的我真的想不出来。但这里用弦长公式比用两点间的距离公式运算量应该小了很多。

2020-05-02 19:53:45
程文刚

  哦,谢谢了,我之前就是用算交点联立方程的方法,算死我了。

2020-05-02 19:57:15

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