已知抛物线y2=2px（p>0），过点（4，0）作直线l交抛-查字典问答网

来自牛征的问题

　　已知抛物线y2=2px（p>0），过点（4，0）作直线l交抛物线于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线上的定点M（1，2p）作两条关于直线x=1对称的直线，分

　　已知抛物线y2=2px（p>0），过点（4，0）作直线l交抛物线于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O．

　　（1）求抛物线的方程；

　　（2）过抛物线上的定点M（1，

　　2p）作两条关于直线x=1对称的直线，分别交抛物线于C，D两点，连接CD，试问：直线CD的斜率是否为定值？请说明理由．

1回答

2020-05-04 08:29

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马育锋

　　（1）依题意可设直线l的方程为x=my+4，代入抛物线方程得y2-2pmx-8p=0，

　　由韦达定理得y1y2=-8p，y1+y2=2pm．

　　∴x1x2=（my1+4）（my2+4）=16．

　　∵AO⊥BO，

　　∴x1x2+y1y2=0，

　　∴p=2，

　　∴抛物线C为：y2=4x．

　　（2）由题意，M（1，2）．设直线MC的斜率为k，MD的斜率为-k，

　　则直线MC的方程为y-2=k（x-1），即y=kx-（k-2）

　　联立方程消去y，得：k2x2-2k2x+（k-2）2=0

　　∵xMxC=(k-2)

2020-05-04 08:33:25