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  谁能帮我解一下这个定积分∫e^(-x^2)dx=?这是一个反常积分,积分区域为0,+∞

  谁能帮我解一下这个定积分

  ∫e^(-x^2)dx=?

  这是一个反常积分,积分区域为0,+∞

1回答
2020-05-04 22:57
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廖光灯

  I=∫e^(-x^2)dx,平方得:I^2=[∫e^(-x^2)dx][∫e^(-y^2)dy]=∫dx∫e^[-(x^2+y^2)]dy=∫∫e^[-(x^2+y^2)]dxdy,化为极坐标,先在第一象限圆域积分(x^2+y^2+∞I^2=limπ(1-e^(-R^2))/4,R->+∞=π/4.

  I=∫e^(-x^2)dx=(√π)/2

  这就是著名的泊松积分.在高数二重积分,大学物理近代原子物理和概率和数理统计的高斯分布(正态分布)均出现.根据高斯分布还可以给出另外的解法:先将积分式向标准正态分布概率密度公式配凑:

  I=(√2π)(1/√2π)*∫e^(-(x^2)/2)d(x/√2)=√π*{(1/√2π)*∫e^(-(x^2)/2)dx},{}内为标准正态分布概率密度公式,它在(0,+∞)积分为1/2;所以I=∫e^(-x^2)dx=(√π)/2

  答案仅供参考,具体过程书写不便可能有误,可参阅提到的相关资料.

2020-05-04 23:01:58

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