只要是可以称为矩阵的数列都是满足数的运算法则的

　　这里首先要弄清楚什么是矩阵

　　矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵.

　　把用在解线性方程组上既方便,又直观.例如对于方程组.

　　a1x+b1y+c1z=d1

　　a2x+b2y+c2z=d2

　　a3x+b3y+c3z=d3

　　来说,我们可以构成两个矩阵：

　　a1b1c1a1b1c1d1

　　a2b2c2a2b2c2d2

　　a3b3c3a3b3c3d3

　　因为这些数字是有规则地排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来.

　　矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.

　　但是追根溯源,矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中,在＜九章算术＞方程一章中,就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹,就可以求出这个方程的解.在欧洲,运用这种方法来解线性方程组,比我国要晚2000多年.

　　数学上,一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的,由某环中元素组成.

　　矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等.请参考矩阵理论.

　　目录[隐藏]

　　1历史

　　2定义和相关符号

　　2.1一般环上构作的矩阵

　　2.2分块矩阵

　　3特殊矩阵类别

　　4矩阵运算

　　5线性变换,秩,转置

　　6Jacobian行列式

　　7参见

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　　历史

　　矩阵的研究历史悠久,拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.

　　作为解决线性方程的工具,矩阵也有不短的历史.1693年,微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants).1750年,加布里尔·克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年代,高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法.

　　1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼.

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　　定义和相关符号

　　以下是一个4×3矩阵：

　　某矩阵A的第i行第j列,或i,j位,通常记为A[i,j]或Ai,j.在上述例子中A[2,3]=7.

　　在C语言中,亦以A[i][j]表达.(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)

　　此外A=(aij),意为A[i,j]=aij对于所有i及j,常见于数学著作中.

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　　一般环上构作的矩阵

　　给出一环R,M(m,n,R)是所有由R中元素排成的m×n矩阵的集合.若m=n,则通常记以M(n,R).这些矩阵可加可乘(请看下面),故M(n,R)本身是一个环,而此环与左R模Rn的自同态环同构.

　　若R可置换,则M(n,R)为一带单位元的R-代数.其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在R内可逆.

　　在维基百科内,除特别指出,一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵.

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　　分块矩阵

　　分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”.举例,以下的矩阵

　　可分割成4个2×2的矩阵

　　.

　　此法可用于简化运算,简化数学证明,以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等.

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　　特殊矩阵类别

　　对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称,即是ai,j=aj,i.

　　埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是ai,j=a*j,i.

　　特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对,是ai,j=ai+1,j+1.

　　随机矩阵所有列都是概率向量,用于马尔可夫链.

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　　矩阵运算

　　给出m×n矩阵A和B,可定义它们的和A+B为一m×n矩阵,等i,j项为(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j].举例：

　　另类加法可见于矩阵加法.

　　若给出一矩阵A及一数字c,可定义标量积cA,其中(cA)[i,j]=cA[i,j].例如

　　这两种运算令M(m,n,R)成为一实数线性空间,维数是mn.

　　若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等,则可定义这两个矩阵的乘积.如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵,它们是乘积AB是一个m×p矩阵,其中

　　(AB)[i,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+...+A[i,n]*B[n,j]对所有i及j.

　　例如

　　此乘法有如下性质：

　　(AB)C=A(BC)对所有k×m矩阵A,m×n矩阵B及n×p矩阵C("结合律").

　　(A+B)C=AC+BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C("分配律").

　　C(A+B)=CA+CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C("分配律").

　　要注意的是：可置换性不一定成立,即有矩阵A及B使得AB≠BA.

　　对其他特殊乘法,见矩阵乘法.

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　　线性变换,秩,转置

　　矩阵是线性变换的便利表达法,皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：

　　以Rn表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）.对每个线性变换f:Rn->Rm都存在唯一m×n矩阵A使得f(x)=Ax对所有x∈Rn.这矩阵A"代表了"线性变换f.今另有k×m矩阵B代表线性变换g:Rm->Rk,则矩阵积BA代表了线性变换gof.

　　矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵秩.矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数.

　　m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵Atr（亦纪作AT或tA）,即Atr[i,j]=A[j,i]对所有iandj.若A代表某一线性变换则Atr表示其对偶算子.转置有以下特性：

　　(A+B)tr=Atr+Btr,(AB)tr=BtrAtr.